Lyon : des chercheurs réduisent la Terre en une balle de ping-pong

Réduire la taille d’une sphère en conservant sa surface, c’est le tour de force qu’a réalisé une équipe de chercheurs de Lyon et Grenoble dans un projet baptisé Hévéa.

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La sphère réduite du projet Hévéa

Imaginez une sphère grande comme la planète terre. Réduisez-la à la taille d’un globe de bureau en conservant toute sa surface. Cet exploit qui paraît insoluble a pourtant été résolu, par une équipe de chercheurs basés à Lyon et Grenoble. Leur étude, baptisée Hévéa, est parue le 5 juillet dernier dans la revue scientifique Foundations of Computational Mathematics. Un travail démarré en 2012 qui a nécessité des compétences multiples, en informatique, mathématiques pures et appliquées, etc. “On peut croire qu’entre scientifiques tout le monde parle le même langage, mais ce n’est pas vrai. C’est vraiment un travail pluridisciplinaire et c’est trouver ce langage commun qui a été difficile”, explique Vincent Borrelli, maître de conférences en mathématiques à l’ICJ Lyon, à la tête du projet.

De la balle de ping-pong à la planète Terre réduite

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Une sphère réduite et une sphère dont la surface est de la même taille, mais est non réduite

Jusqu’à la moitié du XXe siècle, on pensait qu’une sphère pouvait se déformer, mais qu’elle ne pouvait ni être contractée ni être étirée. Prenez une balle de ping-pong : impossible de la déformer, on ne peut que la “poquer” ou la froisser. Derrière cette donnée factuelle, il y a un théorème mathématique, inventé en 1827 par Karl Friedrich Gauss : la sphère est un objet rigide qui ne peut être déformé sauf à créer pointes et arêtes. Cependant, John Nash (l’Homme d’exception du film de Ron Howard) a imaginé en 1954 un théorème qui remet en question les résultats des travaux de Gauss. “Il découvre une façon de déformer une sphère sans faire d’arêtes ou de pointes”, raconte Vincent Borrelli. Son raisonnement est mathématiquement confirmé, mais la géométrie d’une telle sphère n’est pas encore imaginée. “Il n’y avait pas les mots pour le décrire”, note Vincent Borrelli. Depuis, trois scientifiques révolutionnent l’appréhension des surfaces. D’abord Nicolaas Kuiper, qui adapte la démonstration de Nash en trois dimensions. Puis Benoît Mandelbrot, qui invente le concept de fractales, ces objets infiniment fracturés – “comme un chou Romanesco”, s’amuse Vincent Borrelli. Enfin, Mikhaïl Gromov, qui revisite en profondeur les travaux de Nash et de Kuiper, pour en faire une théorie générale, parfois tellement conceptuelle qu’inimaginable.

"Ce qui est délirant, c’est que le coefficient de réduction d’une sphère peut être aussi grand que l’on veut"

Cette théorie de Gromov, l’équipe d’Hévéa a réussi à en démontrer la faisabilité en modélisant en 3D cette sphère. “Ce qui est délirant, confie Vincent Borrelli, c’est que le coefficient de réduction d’une sphère peut être aussi grand que l’on veut. Imaginons que la Terre soit une sphère bien lisse, on pourrait la réduire à la taille d’un globe terrestre de bureau sans modifier la taille de sa surface. Une minuscule fourmi qui déciderait de faire le tour de cette plus petite sphère par l’équateur devra elle aussi parcourir 40 000 kilomètres comme sur la planète Terre.”

L’exploit conceptuel de l’équipe d’Hévéa pourrait ouvrir plusieurs perspectives, selon Vincent Borrelli : “Le monde qui nous entoure est modélisé par des équations aux dérivées partielles. Ces trois mots sont importants parce qu’ils codent les évolutions de ce qui se passe autour de nous : la météo, l’économie. Une des activités des mathématiciens est de trouver des méthodes pour résoudre ces équations aux dérivées partielles. Par exemple, l’équation qui résout les prévisions météo, on ne la connaît pas encore. C’est pour ça que les prévisions ne sont pas toujours bonnes. Derrière la résolution de cette sphère fripée, il y a aussi une nouvelle méthode pour la résoudre qui a été validée. Elle n’est pas due à nous, mais à Gromov.”

Des applications encore inconnues

Autre perspective, la validation de la théorie de Gromov confirme le pressentiment qu’il n’y a pas, d’un côté, les objets dont la surface est toute lisse (une table, une pomme) et de l’autre ceux dont la surface est infiniment fracturée (les côtes bretonnes, de la roche, etc.). “Il y avait un chaînon manquant qui n’était pas là. Ce que l’on voit dans cette sphère, c’est la transition entre une surface lisse et une surface fracturée qui reste cependant lisse. Là, on est pile au centre des deux. L’objet est ondulé à toutes les échelles, mais lisse”, s’enthousiasme Vincent Borrelli.

Quant aux applications concrètes, on ne les connaît pas encore. Mais l’essentiel n’est pas là, pour le chercheur : “C’est difficile de savoir à l’avance quelles sont les applications concrètes de cela. Quand on a fait le tore plat [un autre projet de leur équipe qui consistait à transformer une feuille en cylindre, lui-même transformé en une sorte de chambre à air de vélo en joignant ses deux bouts, NdlR], j’ai reçu des mails avec des applications que je n’aurais jamais imaginées. L’important, c’est de créer le concept et de le valider, parce que cela peut créer un nombre infini d’applications que l’on ne connaît pas encore.” Comme l’écrivait Victor Hugo, “rien n’est plus puissant qu’une idée dont l’heure est venue”.